3.9 \(\int (c+d x)^3 \text{sech}^3(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=296 \[ \frac{3 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{6 d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 d (c+d x)^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}+\frac{(c+d x)^3 \tanh (a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b} \]

[Out]

(-6*d^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^3 + ((c + d*x)^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b + ((3*I)*d^3*PolyLog[2, (-I)*
E^(a + b*x)])/b^4 - (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 - ((3*I)*d^3*PolyLog[2, I*E^(a
+ b*x)])/b^4 + (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + ((3*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*
E^(a + b*x)])/b^3 - ((3*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 - ((3*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*
x)])/b^4 + ((3*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (3*d*(c + d*x)^2*Sech[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*
Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.216175, antiderivative size = 296, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 15, number of rules used = 8, integrand size = 16, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.5, Rules used = {4186, 4180, 2279, 2391, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ \frac{3 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{6 d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 d (c+d x)^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}+\frac{(c+d x)^3 \tanh (a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Sech[a + b*x]^3,x]

[Out]

(-6*d^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^3 + ((c + d*x)^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b + ((3*I)*d^3*PolyLog[2, (-I)*
E^(a + b*x)])/b^4 - (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 - ((3*I)*d^3*PolyLog[2, I*E^(a
+ b*x)])/b^4 + (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + ((3*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*
E^(a + b*x)])/b^3 - ((3*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 - ((3*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*
x)])/b^4 + ((3*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (3*d*(c + d*x)^2*Sech[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*
Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)

Rule 4186

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> -Simp[(b^2*(c + d*x)^m*Cot[e
+ f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f*(n - 1)), x] + (Dist[(b^2*d^2*m*(m - 1))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), Int[(c + d
*x)^(m - 2)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n
- 2), x], x] - Simp[(b^2*d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), x]) /; FreeQ[
{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2] && GtQ[m, 1]

Rule 4180

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c
+ d*x)^m*ArcTanh[E^(-(I*e) + f*fz*x)/E^(I*k*Pi)])/(f*fz*I), x] + (-Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*
Log[1 - E^(-(I*e) + f*fz*x)/E^(I*k*Pi)], x], x] + Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(-(I*e)
+ f*fz*x)/E^(I*k*Pi)], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^3 \text{sech}^3(a+b x) \, dx &=\frac{3 d (c+d x)^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}+\frac{1}{2} \int (c+d x)^3 \text{sech}(a+b x) \, dx-\frac{\left (3 d^2\right ) \int (c+d x) \text{sech}(a+b x) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{6 d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}+\frac{3 d (c+d x)^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}-\frac{(3 i d) \int (c+d x)^2 \log \left (1-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{2 b}+\frac{(3 i d) \int (c+d x)^2 \log \left (1+i e^{a+b x}\right ) \, dx}{2 b}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \int \log \left (1-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (3 i d^3\right ) \int \log \left (1+i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{6 d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 d (c+d x)^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}+\frac{\left (3 i d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (3 i d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}\\ &=-\frac{6 d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 d (c+d x)^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}-\frac{\left (3 i d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{6 d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 d (c+d x)^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}-\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}\\ &=-\frac{6 d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_4\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_4\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 d (c+d x)^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 5.99071, size = 455, normalized size = 1.54 \[ \frac{b^2 (c+d x)^2 \text{sech}(a+b x) (b (c+d x) \tanh (a+b x)+3 d)+i \left (-3 d \left (b^2 (c+d x)^2-2 d^2\right ) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )+3 d \left (b^2 (c+d x)^2-2 d^2\right ) \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )+6 b c d^2 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{a+b x}\right )-6 b c d^2 \text{PolyLog}\left (3,i e^{a+b x}\right )+6 b d^3 x \text{PolyLog}\left (3,-i e^{a+b x}\right )-6 b d^3 x \text{PolyLog}\left (3,i e^{a+b x}\right )-6 d^3 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{a+b x}\right )+6 d^3 \text{PolyLog}\left (4,i e^{a+b x}\right )+3 b^3 c^2 d x \log \left (1-i e^{a+b x}\right )-3 b^3 c^2 d x \log \left (1+i e^{a+b x}\right )-2 i b^3 c^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )+3 b^3 c d^2 x^2 \log \left (1-i e^{a+b x}\right )-3 b^3 c d^2 x^2 \log \left (1+i e^{a+b x}\right )+b^3 d^3 x^3 \log \left (1-i e^{a+b x}\right )-b^3 d^3 x^3 \log \left (1+i e^{a+b x}\right )+12 i b c d^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )-6 b d^3 x \log \left (1-i e^{a+b x}\right )+6 b d^3 x \log \left (1+i e^{a+b x}\right )\right )}{2 b^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Sech[a + b*x]^3,x]

[Out]

(I*((-2*I)*b^3*c^3*ArcTan[E^(a + b*x)] + (12*I)*b*c*d^2*ArcTan[E^(a + b*x)] + 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 - I*E^(a + b
*x)] - 6*b*d^3*x*Log[1 - I*E^(a + b*x)] + 3*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 - I*E^(a + b*x)] + b^3*d^3*x^3*Log[1 - I*E^(a
+ b*x)] - 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 + I*E^(a + b*x)] + 6*b*d^3*x*Log[1 + I*E^(a + b*x)] - 3*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 + I*
E^(a + b*x)] - b^3*d^3*x^3*Log[1 + I*E^(a + b*x)] - 3*d*(-2*d^2 + b^2*(c + d*x)^2)*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)
] + 3*d*(-2*d^2 + b^2*(c + d*x)^2)*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)] + 6*b*c*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)] + 6*b*d^
3*x*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)] - 6*b*c*d^2*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)] - 6*b*d^3*x*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)] -
6*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)] + 6*d^3*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)]) + b^2*(c + d*x)^2*Sech[a + b*x]*(3*d +
b*(c + d*x)*Tanh[a + b*x]))/(2*b^4)

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( dx+c \right ) ^{3} \left ({\rm sech} \left (bx+a\right ) \right ) ^{3}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*sech(b*x+a)^3,x)

[Out]

int((d*x+c)^3*sech(b*x+a)^3,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} b^{2} d^{3} \int \frac{x^{3} e^{\left (b x + a\right )}}{b^{2} e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b^{2}}\,{d x} + 3 \, b^{2} c d^{2} \int \frac{x^{2} e^{\left (b x + a\right )}}{b^{2} e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b^{2}}\,{d x} + 3 \, b^{2} c^{2} d \int \frac{x e^{\left (b x + a\right )}}{b^{2} e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b^{2}}\,{d x} - c^{3}{\left (\frac{\arctan \left (e^{\left (-b x - a\right )}\right )}{b} - \frac{e^{\left (-b x - a\right )} - e^{\left (-3 \, b x - 3 \, a\right )}}{b{\left (2 \, e^{\left (-2 \, b x - 2 \, a\right )} + e^{\left (-4 \, b x - 4 \, a\right )} + 1\right )}}\right )} - 6 \, d^{3} \int \frac{x e^{\left (b x + a\right )}}{b^{2} e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b^{2}}\,{d x} - \frac{6 \, c d^{2} \arctan \left (e^{\left (b x + a\right )}\right )}{b^{3}} + \frac{{\left (b d^{3} x^{3} e^{\left (3 \, a\right )} + 3 \, c^{2} d e^{\left (3 \, a\right )} + 3 \,{\left (b c d^{2} + d^{3}\right )} x^{2} e^{\left (3 \, a\right )} + 3 \,{\left (b c^{2} d + 2 \, c d^{2}\right )} x e^{\left (3 \, a\right )}\right )} e^{\left (3 \, b x\right )} -{\left (b d^{3} x^{3} e^{a} - 3 \, c^{2} d e^{a} + 3 \,{\left (b c d^{2} - d^{3}\right )} x^{2} e^{a} + 3 \,{\left (b c^{2} d - 2 \, c d^{2}\right )} x e^{a}\right )} e^{\left (b x\right )}}{b^{2} e^{\left (4 \, b x + 4 \, a\right )} + 2 \, b^{2} e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b^{2}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*sech(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

b^2*d^3*integrate(x^3*e^(b*x + a)/(b^2*e^(2*b*x + 2*a) + b^2), x) + 3*b^2*c*d^2*integrate(x^2*e^(b*x + a)/(b^2
*e^(2*b*x + 2*a) + b^2), x) + 3*b^2*c^2*d*integrate(x*e^(b*x + a)/(b^2*e^(2*b*x + 2*a) + b^2), x) - c^3*(arcta
n(e^(-b*x - a))/b - (e^(-b*x - a) - e^(-3*b*x - 3*a))/(b*(2*e^(-2*b*x - 2*a) + e^(-4*b*x - 4*a) + 1))) - 6*d^3
*integrate(x*e^(b*x + a)/(b^2*e^(2*b*x + 2*a) + b^2), x) - 6*c*d^2*arctan(e^(b*x + a))/b^3 + ((b*d^3*x^3*e^(3*
a) + 3*c^2*d*e^(3*a) + 3*(b*c*d^2 + d^3)*x^2*e^(3*a) + 3*(b*c^2*d + 2*c*d^2)*x*e^(3*a))*e^(3*b*x) - (b*d^3*x^3
*e^a - 3*c^2*d*e^a + 3*(b*c*d^2 - d^3)*x^2*e^a + 3*(b*c^2*d - 2*c*d^2)*x*e^a)*e^(b*x))/(b^2*e^(4*b*x + 4*a) +
2*b^2*e^(2*b*x + 2*a) + b^2)

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 3.65987, size = 11732, normalized size = 39.64 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*sech(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(2*(b^3*d^3*x^3 + b^3*c^3 + 3*b^2*c^2*d + 3*(b^3*c*d^2 + b^2*d^3)*x^2 + 3*(b^3*c^2*d + 2*b^2*c*d^2)*x)*cos
h(b*x + a)^3 + 6*(b^3*d^3*x^3 + b^3*c^3 + 3*b^2*c^2*d + 3*(b^3*c*d^2 + b^2*d^3)*x^2 + 3*(b^3*c^2*d + 2*b^2*c*d
^2)*x)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^2 + 2*(b^3*d^3*x^3 + b^3*c^3 + 3*b^2*c^2*d + 3*(b^3*c*d^2 + b^2*d^3)*x^2 +
3*(b^3*c^2*d + 2*b^2*c*d^2)*x)*sinh(b*x + a)^3 - 2*(b^3*d^3*x^3 + b^3*c^3 - 3*b^2*c^2*d + 3*(b^3*c*d^2 - b^2*d
^3)*x^2 + 3*(b^3*c^2*d - 2*b^2*c*d^2)*x)*cosh(b*x + a) + (3*I*b^2*d^3*x^2 + 6*I*b^2*c*d^2*x + 3*I*b^2*c^2*d +
(3*I*b^2*d^3*x^2 + 6*I*b^2*c*d^2*x + 3*I*b^2*c^2*d - 6*I*d^3)*cosh(b*x + a)^4 + (12*I*b^2*d^3*x^2 + 24*I*b^2*c
*d^2*x + 12*I*b^2*c^2*d - 24*I*d^3)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (3*I*b^2*d^3*x^2 + 6*I*b^2*c*d^2*x + 3*I*b
^2*c^2*d - 6*I*d^3)*sinh(b*x + a)^4 - 6*I*d^3 + (6*I*b^2*d^3*x^2 + 12*I*b^2*c*d^2*x + 6*I*b^2*c^2*d - 12*I*d^3
)*cosh(b*x + a)^2 + (6*I*b^2*d^3*x^2 + 12*I*b^2*c*d^2*x + 6*I*b^2*c^2*d - 12*I*d^3 + (18*I*b^2*d^3*x^2 + 36*I*
b^2*c*d^2*x + 18*I*b^2*c^2*d - 36*I*d^3)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + ((12*I*b^2*d^3*x^2 + 24*I*b^2*c*d^
2*x + 12*I*b^2*c^2*d - 24*I*d^3)*cosh(b*x + a)^3 + (12*I*b^2*d^3*x^2 + 24*I*b^2*c*d^2*x + 12*I*b^2*c^2*d - 24*
I*d^3)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*dilog(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) + (-3*I*b^2*d^3*x^2 - 6*I*b^2*c*
d^2*x - 3*I*b^2*c^2*d + (-3*I*b^2*d^3*x^2 - 6*I*b^2*c*d^2*x - 3*I*b^2*c^2*d + 6*I*d^3)*cosh(b*x + a)^4 + (-12*
I*b^2*d^3*x^2 - 24*I*b^2*c*d^2*x - 12*I*b^2*c^2*d + 24*I*d^3)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (-3*I*b^2*d^3*x^
2 - 6*I*b^2*c*d^2*x - 3*I*b^2*c^2*d + 6*I*d^3)*sinh(b*x + a)^4 + 6*I*d^3 + (-6*I*b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^2*
x - 6*I*b^2*c^2*d + 12*I*d^3)*cosh(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^2*x - 6*I*b^2*c^2*d + 12*I*d^
3 + (-18*I*b^2*d^3*x^2 - 36*I*b^2*c*d^2*x - 18*I*b^2*c^2*d + 36*I*d^3)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + ((-1
2*I*b^2*d^3*x^2 - 24*I*b^2*c*d^2*x - 12*I*b^2*c^2*d + 24*I*d^3)*cosh(b*x + a)^3 + (-12*I*b^2*d^3*x^2 - 24*I*b^
2*c*d^2*x - 12*I*b^2*c^2*d + 24*I*d^3)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*dilog(-I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a))
+ (I*b^3*c^3 - 3*I*a*b^2*c^2*d + 3*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 + (I*b^3*c^3 - 3*I*a*b^2*c^2*d + 3*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2
- I*(a^3 - 6*a)*d^3)*cosh(b*x + a)^4 + (4*I*b^3*c^3 - 12*I*a*b^2*c^2*d + 12*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 - 4*I*(a^3 -
6*a)*d^3)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (I*b^3*c^3 - 3*I*a*b^2*c^2*d + 3*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 - I*(a^3 - 6*a)
*d^3)*sinh(b*x + a)^4 - I*(a^3 - 6*a)*d^3 + (2*I*b^3*c^3 - 6*I*a*b^2*c^2*d + 6*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 - 2*I*(a^3
- 6*a)*d^3)*cosh(b*x + a)^2 + (2*I*b^3*c^3 - 6*I*a*b^2*c^2*d + 6*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 - 2*I*(a^3 - 6*a)*d^3 + (
6*I*b^3*c^3 - 18*I*a*b^2*c^2*d + 18*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 - 6*I*(a^3 - 6*a)*d^3)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^
2 + ((4*I*b^3*c^3 - 12*I*a*b^2*c^2*d + 12*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 - 4*I*(a^3 - 6*a)*d^3)*cosh(b*x + a)^3 + (4*I*b^
3*c^3 - 12*I*a*b^2*c^2*d + 12*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 - 4*I*(a^3 - 6*a)*d^3)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(cos
h(b*x + a) + sinh(b*x + a) + I) + (-I*b^3*c^3 + 3*I*a*b^2*c^2*d - 3*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 + (-I*b^3*c^3 + 3*I*a*
b^2*c^2*d - 3*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 + I*(a^3 - 6*a)*d^3)*cosh(b*x + a)^4 + (-4*I*b^3*c^3 + 12*I*a*b^2*c^2*d - 12
*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 + 4*I*(a^3 - 6*a)*d^3)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (-I*b^3*c^3 + 3*I*a*b^2*c^2*d - 3*
I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 + I*(a^3 - 6*a)*d^3)*sinh(b*x + a)^4 + I*(a^3 - 6*a)*d^3 + (-2*I*b^3*c^3 + 6*I*a*b^2*c^2*d
- 6*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 + 2*I*(a^3 - 6*a)*d^3)*cosh(b*x + a)^2 + (-2*I*b^3*c^3 + 6*I*a*b^2*c^2*d - 6*I*(a^2 -
2)*b*c*d^2 + 2*I*(a^3 - 6*a)*d^3 + (-6*I*b^3*c^3 + 18*I*a*b^2*c^2*d - 18*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 + 6*I*(a^3 - 6*a
)*d^3)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + ((-4*I*b^3*c^3 + 12*I*a*b^2*c^2*d - 12*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 + 4*I*(a^
3 - 6*a)*d^3)*cosh(b*x + a)^3 + (-4*I*b^3*c^3 + 12*I*a*b^2*c^2*d - 12*I*(a^2 - 2)*b*c*d^2 + 4*I*(a^3 - 6*a)*d^
3)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) - I) + (-I*b^3*d^3*x^3 - 3*I*b^3*c*d^2*x^2
- 3*I*a*b^2*c^2*d + 3*I*a^2*b*c*d^2 + (-I*b^3*d^3*x^3 - 3*I*b^3*c*d^2*x^2 - 3*I*a*b^2*c^2*d + 3*I*a^2*b*c*d^2
- I*(a^3 - 6*a)*d^3 - 3*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cosh(b*x + a)^4 + (-4*I*b^3*d^3*x^3 - 12*I*b^3*c*d^2*x^2 -
12*I*a*b^2*c^2*d + 12*I*a^2*b*c*d^2 - 4*I*(a^3 - 6*a)*d^3 - 12*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cosh(b*x + a)*sinh(b
*x + a)^3 + (-I*b^3*d^3*x^3 - 3*I*b^3*c*d^2*x^2 - 3*I*a*b^2*c^2*d + 3*I*a^2*b*c*d^2 - I*(a^3 - 6*a)*d^3 - 3*I*
(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*sinh(b*x + a)^4 - I*(a^3 - 6*a)*d^3 + (-2*I*b^3*d^3*x^3 - 6*I*b^3*c*d^2*x^2 - 6*I*a*b
^2*c^2*d + 6*I*a^2*b*c*d^2 - 2*I*(a^3 - 6*a)*d^3 - 6*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cosh(b*x + a)^2 + (-2*I*b^3*d^
3*x^3 - 6*I*b^3*c*d^2*x^2 - 6*I*a*b^2*c^2*d + 6*I*a^2*b*c*d^2 - 2*I*(a^3 - 6*a)*d^3 + (-6*I*b^3*d^3*x^3 - 18*I
*b^3*c*d^2*x^2 - 18*I*a*b^2*c^2*d + 18*I*a^2*b*c*d^2 - 6*I*(a^3 - 6*a)*d^3 - 18*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cos
h(b*x + a)^2 - 6*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*sinh(b*x + a)^2 - 3*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x + ((-4*I*b^3*d^3*x^3
- 12*I*b^3*c*d^2*x^2 - 12*I*a*b^2*c^2*d + 12*I*a^2*b*c*d^2 - 4*I*(a^3 - 6*a)*d^3 - 12*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)
*x)*cosh(b*x + a)^3 + (-4*I*b^3*d^3*x^3 - 12*I*b^3*c*d^2*x^2 - 12*I*a*b^2*c^2*d + 12*I*a^2*b*c*d^2 - 4*I*(a^3
- 6*a)*d^3 - 12*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)
+ 1) + (I*b^3*d^3*x^3 + 3*I*b^3*c*d^2*x^2 + 3*I*a*b^2*c^2*d - 3*I*a^2*b*c*d^2 + (I*b^3*d^3*x^3 + 3*I*b^3*c*d^
2*x^2 + 3*I*a*b^2*c^2*d - 3*I*a^2*b*c*d^2 + I*(a^3 - 6*a)*d^3 + 3*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cosh(b*x + a)^4 +
(4*I*b^3*d^3*x^3 + 12*I*b^3*c*d^2*x^2 + 12*I*a*b^2*c^2*d - 12*I*a^2*b*c*d^2 + 4*I*(a^3 - 6*a)*d^3 + 12*I*(b^3
*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (I*b^3*d^3*x^3 + 3*I*b^3*c*d^2*x^2 + 3*I*a*b^2*c^2*d - 3*
I*a^2*b*c*d^2 + I*(a^3 - 6*a)*d^3 + 3*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*sinh(b*x + a)^4 + I*(a^3 - 6*a)*d^3 + (2*I*b^
3*d^3*x^3 + 6*I*b^3*c*d^2*x^2 + 6*I*a*b^2*c^2*d - 6*I*a^2*b*c*d^2 + 2*I*(a^3 - 6*a)*d^3 + 6*I*(b^3*c^2*d - 2*b
*d^3)*x)*cosh(b*x + a)^2 + (2*I*b^3*d^3*x^3 + 6*I*b^3*c*d^2*x^2 + 6*I*a*b^2*c^2*d - 6*I*a^2*b*c*d^2 + 2*I*(a^3
- 6*a)*d^3 + (6*I*b^3*d^3*x^3 + 18*I*b^3*c*d^2*x^2 + 18*I*a*b^2*c^2*d - 18*I*a^2*b*c*d^2 + 6*I*(a^3 - 6*a)*d^
3 + 18*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cosh(b*x + a)^2 + 6*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*sinh(b*x + a)^2 + 3*I*(b^3*c^
2*d - 2*b*d^3)*x + ((4*I*b^3*d^3*x^3 + 12*I*b^3*c*d^2*x^2 + 12*I*a*b^2*c^2*d - 12*I*a^2*b*c*d^2 + 4*I*(a^3 - 6
*a)*d^3 + 12*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cosh(b*x + a)^3 + (4*I*b^3*d^3*x^3 + 12*I*b^3*c*d^2*x^2 + 12*I*a*b^2*c
^2*d - 12*I*a^2*b*c*d^2 + 4*I*(a^3 - 6*a)*d^3 + 12*I*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*lo
g(-I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a) + 1) + (6*I*d^3*cosh(b*x + a)^4 + 24*I*d^3*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3
+ 6*I*d^3*sinh(b*x + a)^4 + 12*I*d^3*cosh(b*x + a)^2 + 6*I*d^3 + (36*I*d^3*cosh(b*x + a)^2 + 12*I*d^3)*sinh(b*
x + a)^2 + (24*I*d^3*cosh(b*x + a)^3 + 24*I*d^3*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*polylog(4, I*cosh(b*x + a) + I*s
inh(b*x + a)) + (-6*I*d^3*cosh(b*x + a)^4 - 24*I*d^3*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 - 6*I*d^3*sinh(b*x + a)^4 -
12*I*d^3*cosh(b*x + a)^2 - 6*I*d^3 + (-36*I*d^3*cosh(b*x + a)^2 - 12*I*d^3)*sinh(b*x + a)^2 + (-24*I*d^3*cosh
(b*x + a)^3 - 24*I*d^3*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*polylog(4, -I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) + (-6*I*b*
d^3*x + (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*cosh(b*x + a)^4 + (-24*I*b*d^3*x - 24*I*b*c*d^2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x +
a)^3 + (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*sinh(b*x + a)^4 - 6*I*b*c*d^2 + (-12*I*b*d^3*x - 12*I*b*c*d^2)*cosh(b*x +
a)^2 + (-12*I*b*d^3*x - 12*I*b*c*d^2 + (-36*I*b*d^3*x - 36*I*b*c*d^2)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + ((-2
4*I*b*d^3*x - 24*I*b*c*d^2)*cosh(b*x + a)^3 + (-24*I*b*d^3*x - 24*I*b*c*d^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*pol
ylog(3, I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) + (6*I*b*d^3*x + (6*I*b*d^3*x + 6*I*b*c*d^2)*cosh(b*x + a)^4 + (24*
I*b*d^3*x + 24*I*b*c*d^2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (6*I*b*d^3*x + 6*I*b*c*d^2)*sinh(b*x + a)^4 + 6*I*b*
c*d^2 + (12*I*b*d^3*x + 12*I*b*c*d^2)*cosh(b*x + a)^2 + (12*I*b*d^3*x + 12*I*b*c*d^2 + (36*I*b*d^3*x + 36*I*b*
c*d^2)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + ((24*I*b*d^3*x + 24*I*b*c*d^2)*cosh(b*x + a)^3 + (24*I*b*d^3*x + 24*
I*b*c*d^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*polylog(3, -I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) - 2*(b^3*d^3*x^3 + b^3
*c^3 - 3*b^2*c^2*d + 3*(b^3*c*d^2 - b^2*d^3)*x^2 - 3*(b^3*d^3*x^3 + b^3*c^3 + 3*b^2*c^2*d + 3*(b^3*c*d^2 + b^2
*d^3)*x^2 + 3*(b^3*c^2*d + 2*b^2*c*d^2)*x)*cosh(b*x + a)^2 + 3*(b^3*c^2*d - 2*b^2*c*d^2)*x)*sinh(b*x + a))/(b^
4*cosh(b*x + a)^4 + 4*b^4*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + b^4*sinh(b*x + a)^4 + 2*b^4*cosh(b*x + a)^2 + b^4 +
2*(3*b^4*cosh(b*x + a)^2 + b^4)*sinh(b*x + a)^2 + 4*(b^4*cosh(b*x + a)^3 + b^4*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (c + d x\right )^{3} \operatorname{sech}^{3}{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*sech(b*x+a)**3,x)

[Out]

Integral((c + d*x)**3*sech(a + b*x)**3, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{3} \operatorname{sech}\left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*sech(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*sech(b*x + a)^3, x)